【標準】平行移動に関する作図
ここでは、平行移動に関する作図の問題を見ていきます。
平行移動に関する作図の問題
点 $\mathrm{F}$ が作図できればいいですね。平行移動とは、移動前と移動後で対応する点を結ぶと、どの線分も同じ長さで平行になるのでした（参考：【基本】平行移動）。つまり、点 $\mathrm{F}$ は、線分 $\mathrm{CF}$ が、線分 $\mathrm{AD}$ に平行で、同じ長さとなるようにすればいい、ということです。
もし、三角定規を2つ使ってもいい、という条件がついていれば、次のようにして平行な直線を引くこともできます。
片方の三角定規の1辺を $\mathrm{AD}$ に合わせ、もう片方の三角定規の1辺がそれと垂直になるように合わせます。そして、 $\mathrm{AD}$ と合わせていた三角定規をそのままスライドしていき、点 $\mathrm{C}$ を通るところでストップすればいいです。こうすれば、 $\mathrm{C}$ を通り、 $\mathrm{AD}$ に平行な線がひけます。あとはコンパスで $\mathrm{CF}$ が $\mathrm{AD}$ の長さと等しくなるようにとればいいですね。
ただ、「三角定規を2つ使ってもいい」という条件がついていない場合は、定規とコンパスで作図をする必要があります。今までに学んだものを利用するなら、「垂線の垂線」を作図する方法があります。つまり、次のようにする、ということです。
$\mathrm{C}$ から $\mathrm{AD}$ に垂線をひきます。つぎに、その垂線に垂直で、点 $\mathrm{C}$ を通る直線をかきます。そうすれば、 $\mathrm{AD}$ と平行な直線が得られます。少し大変ですが、今までに学んだ内容を組み合わせたものになります。
まず、 $\mathrm{C}$ から $\mathrm{AD}$ に垂線をひくと、次のようになります（参考：【基本】垂線の作図（直線上にない点を通る）その２）。
次に、この垂線に垂直で、点 $\mathrm{C}$ を通る直線を作図します（参考：【基本】垂線の作図（直線上の点を通る））。
こうして、 $\mathrm{AD}$ に平行な直線がひけたので、あとは、 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{CF}$ が同じ長さになるように点 $\mathrm{F}$ をとればおしまいです。
こうして、三角形 $\mathrm{DEF}$ が作図できます。
ひし形を利用
引き続き、同じ問題を考えます。
先ほどは、平行な直線を作図するために「垂線の垂線」を考えましたが、他にも平行な直線を作図する方法はあります。【標準】平行な線の作図の最後で見た、ひし形を利用する方法を考えてみましょう。
これは、線分 $\mathrm{AC}$ を一辺とするひし形を利用して、 $\mathrm{AD}$ に平行で点 $\mathrm{F}$ を通る直線を作図する方法です。
点 $\mathrm{A}$ を中心とした線分 $\mathrm{AC}$ の長さの円と、半直線 $\mathrm{AD}$ との交点をとります。この点を $\mathrm{G}$ としましょう。点 $\mathrm{C, G}$ から、線分 $\mathrm{AC}$ の長さだけ離れた点を $\mathrm{H}$ とすれば、四角形 $\mathrm{ACHG}$ はひし形となり、$\mathrm{CH}$ は $\mathrm{AD}$ と平行になります。
これより、直線 $\mathrm{CH}$ 上に、 $\mathrm{ CF=AD }$ となる点 $\mathrm{F}$ をとれば、三角形 $\mathrm{DEF}$ が作図できます。
「垂線の垂線」より思いつきにくいかもしれませんが、こちらのほうが手順は少ないですね。
平行四辺形を利用
もう一度、同じ問題を考えます。
点 $\mathrm{F}$ が作図できたとして、四角形 $\mathrm{ACFD}$ がどのようになっているかをよく見てみましょう。
線分 $\mathrm{AD, CF}$ は同じ長さです。また、平行移動をしても移動前後で形や大きさは変わらないので、 $\mathrm{ AC=DF }$ です。なので、長さに関する条件を使って、 $\mathrm{F}$ の場所を絞ることができます。
$\mathrm{CF}$ が $\mathrm{AD}$ と同じ長さであることから、 $\mathrm{F}$ は、 $\mathrm{C}$ を中心とした半径 $\mathrm{AD}$ の円の円周上のどこかにあります。また、 $\mathrm{DF}$ が $\mathrm{AC}$ と同じ長さであることから、 $\mathrm{F}$ は、 $\mathrm{D}$ を中心とした半径 $\mathrm{AC}$ の円の円周上にもあることがわかります。
2つの円をかくと、交点が2つできます。なので、 $\mathrm{F}$ はこの交点のどちらかですが、片方はあきらかに変ですね。 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{CF}$ が平行である、という条件も満たす交点は1つだけです。このことから、次のようにして、 $\mathrm{F}$ を作図することができます。
だいぶシンプルになりました。将来もう少し詳しく学びますが、この方法は四角形 $\mathrm{ACFD}$ が平行四辺形になるように作図していることになります。
おわりに
ここでは、平行移動した後の図形を作図する問題を見ました。平行な直線を作図するためにいろいろな方法を見ました。いろいろなやり方でできるようになっておくと、難しい問題にも応用がきくようになると思います。